Como encontrar la distancia de un punto a una recta y la distancia entre dos rectas paralelas.

 

Como encontrar la distancia de un punto a una recta y la distancia entre dos rectas paralelas. 

      Una de las preguntas que se hacen con mas frecuencia a la hora de ver el nombre de el tema ¿Cómo calcular la distancia entre dos rectas en el espacio? Si las rectas son paralelas, tendrás que obtener un punto cualquiera de una de ellas y la distancia entre ese punto y la otra recta será la distancia entre ambas rectas.

Ejemplos

1 Hallar la distancia entre  y .

Primero comparamos las pendientes para verificar que sean paralelas

Buscamos un punto para alguna de las rectas

Sustituimos en la fórmula de distancia de un punto a una recta

2 Hallar la distancia entre las rectas:

                    

                    

En la parte de abajo les dejo un video en el cual se pueden

Distancia de un punto a una recta | Ejemplo 1

https://www.youtube.com/watch?v=9NVdP_uFxTw  

Perímetro y el área de polígonos regulares e irregulares y del círculo.

 Perímetro y área de polígonos regulares, irregulares y del circulo

Primero definiendo perímetro tenemos que es la longitud del contorno de una figura geométrica y tenemos que el área es la superficie delimitada por el contorno de una figura geométrica.

Ahora bien ¿Cuáles son los perímetros y aéreas de las figuras que mencionamos?

Polígonos regulares

Entendemos como un polígono regulas a aquellas figuras geométricas de 2 dimensiones las cuales sus lados y ángulos tienen las mismas medidas.

Perímetro

En el caso de los polígonos regulares, está definida por la suma de sus lados y, como sus lados tienen la misma medida, se puede establecer una expresión matemática de la siguiente manera: perímetro igual al número de lados del polígono, multiplicado por la medida del lado.

L: longitud del lado de la figura

Área

Para determinar su valor, se pueden utilizar las fórmulas ya establecidas. Para el caso de los polígonos regulares, la fórmula es: área igual al producto del semi perímetro por apotema. Dicho de otra manera, área igual al producto del perímetro por apotema dividido entre dos.

P: El perímetro varia y va de acuerdo a la figura que nos estén dando.

Polígonos irregulares

Entendemos como polígonos irregulares a aquellas figuras geométricas de 2 dimensiones las cuales sus lados y ángulos son de diferentes medidas

Perímetro

El perímetro es igual a la suma de las longitudes de los lados.

P= L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6

Área

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.

A = T ₁ + T ₂ + T ₃ + T ₄

Círculo

Se entiende como círculo a aquella figura geométrica que consta de una forma establecida a partir de una línea curva cerrada. El círculo cuenta con una característica principal que es que todos los puntos que se establecen desde su centro tienen la misma distancia hacia la línea que sirve de perímetro, es decir que son equidistantes.

Perímetro

Perímetro de un círculo es igual a PI por el diámetro (d):

Perímetro de un círculo = π x d.

También puedes multiplicar dos por PI por el radio (r):

Perímetro de un círculo = 2.π x r, esto es porque el diámetro es el doble que el radio. Siempre.

Área

Utilice la siguiente fórmula: Área de un círculo = π r² Tenga en cuenta que: π = 3.14 y r = ½ diámetro (el radio es la mitad del diámetro, lo que quiere decir que, para sus cálculos, trabajará con la mitad de 850 que es 425).

Explora la desigualdad de triangulos

 Desigualdad de triángulos

La desigualdad del triángulo es un teorema de la geometría euclidiana que te permite establecer si las medidas de tres segmentos son adecuadas para formar un triángulo, es decir, se establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor o igual que la longitud del tercer lado.

De tal forma que si a, b y c son las longitudes los lados de un triángulo, entonces se cumplen las siguientes desigualdades como lo podemos ver a continuación:

Solo es posible crear un triangulo si las tres condiciones se cumplen.

Por ejemplo:

Si tengo tres longitudes en donde a = 2, b = 3 y c =4 entonces nos quedaría de la siguiente manera

a + b > c    ⇨    2 + 3 > 4   ⇨   Se cumple 

a + c > b    ⇨    2 + 4 > 3   ⇨   Se cumple 

b + c > a    ⇨    3 + 4 > 2   ⇨   Se cumple 

Como podemos observar aquí la propiedad si se cumple dado que ninguna es menor que la suma o igual que la suma y de esta manera si es posible formar un triangulo con esas medidas.

Veamos otro ejemplo:

Si tengo tres longitudes en donde a = 3, b = 6 y c = 9 entonces las desigualdades nos quedarían de la siguiente manera

a + b > c    ⇨    3 + 6 > 9   ⇨   No se cumple 

a + c > b    ⇨    3 + 9 > 6   ⇨   Se cumple 

b + c > a    ⇨    6 + 9 > 3   ⇨   Se cumple 

Analizándolo podemos ver que la primera propiedad no se cumple esto es a causa de que la suma de esas dos longitudes es igual al valor de la tercera longitud por lo tanto no es posible crear un triangulo con las medidas que se nos dan.

Teorema de Pitágoras y Razones Trigonométricas 📐📐📐

 

Teorema de Pitágoras

En esta Blog estudiarás el teorema de Pitágoras, algunas de sus demostraciones, la resolución de problemas matemáticos por medio de este teorema y su aplicación a situaciones de la vida cotidiana.

el teorema de Pitágoras es una relación en geometría que estudia entre los tres lados de un triangulo isósceles Afirma que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos (los otros dos lados que no son la hipotenusa). Este teorema se puede escribir como una que relaciona las longitudes de los lados 'a', 'b' y 'c'. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.​ El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

Cálculo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo

En la figura, el ∆ABC, ∆DAF, ∆EDG y ∆BEH son triángulos rectángulos y congruentes. a) Encuentra el área del cuadrado CFGH. b) Encuentra el área del cuadrilátero ADEB. c) Demuestra que el cuadrilátero ADEB es un cuadrado verificando ∢BAD = 90°. d) Encuentra la medida del lado AB.

Solución:

a) CF = 4 + 3 = 7(cm), por lo tanto, el área es: 72 = 49(cm2 ). b) El área del cuadrilátero ADEB se puede calcular restando al área del cuadrado FGHC, las áreas de los cuatro triángulos que son congruentes. (ADEB) = (FGHC) – (ABC) × 4 = (4 + 3)2 – × 4 = 49 – 24 = 25 (cm)2 3 × 4 2 1.1 Cálculo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, parte 1 En la figura, el ∆ABC, ∆DAF, ∆EDG y ∆BEH son triángulos rectángulos y congruentes. a) Encuentra el área del cuadrado CFGH. 

b) Encuentra el área del cuadrilátero ADEB. 

c) Demuestra que el cuadrilátero ADEB es un cuadrado verificando ∢BAD = 90°. d) Encuentra la medida del lado AB. c) ∢BAD = 180°– (∢CAB + ∢DAF) = 180°– (∢CAB + ∢ABC), dado que ∆ABC ≌ ∆DAF = 180°– 90° = 90° De la misma manera se tiene que ∢ADE = ∢DEB = ∢EBA = 90°. 

En el cuadrilátero ADEB, los lados son congruentes y los ángulos son congruentes así que es un cuadrado. 

d) El área del cuadrado ADEB es AB2 , por otra parte el área es 25 cm2 . Luego AB2 = 25, AB = 5(cm).

Recordemos que:

• el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π/2 radianes;
• la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto;
• las 3 últimas fórmulas anteriores se obtienen de la primera (haciendo la raíz cuadrada en ambos lados).

Nota: h siempre es mayor que los dos catetos, es decir, h > a y h > b.

Nota 2: en el Problema 12 ofrecemos una demostración geométrica del teorema.

Ejemplo: 

• En el rojo, la hipotenusa es $b$.
• En el azul, la hipotenusa es $a$.
• En el verde, la hipotenusa es $a$.
• En el naranja no podemos hablar de hipotenusa y catetos porque no se trata de un triángulo rectángulo (es un triángulo obtusángulo).

Problema 1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 centímetros.

R= sabemos la medida de los catetos ( a y b)

$\mathrm{�<span\; style="font-family:\; "Open\; Sans",\; sans-serif;\; font-size:\; 18.72px;\; text-align:\; justify;\; word-spacing:\; normal;">:</span>}$

$$a=3\text{cm,}b=4\text{cm}$$

Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular la hipotenusa:

Por tanto, la hipotenusa mide 5 centímetros. Representación del triángulo:

 

El teorema de Pitágoras es fundamental en geometría y tiene numerosos beneficios, entre ellos:

1. Resolución de triángulos rectángulos: Permite encontrar la longitud de un lado desconocido de un triángulo rectángulo cuando se conocen las longitudes de los otros dos lados.

2. Aplicaciones en trigonometría: Es la base de muchas relaciones trigonométricas y fórmulas, como las funciones seno, coseno y tangente.

3. Cálculo de distancias: Se puede utilizar para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano o en un espacio tridimensional.

4. Aplicaciones en física: Se utiliza en el cálculo de la longitud de la hipotenusa en problemas relacionados con la cinemática y la dinámica.

5. Aplicaciones en ingeniería y arquitectura: Es esencial en el diseño y la construcción de estructuras y edificios, así como en la resolución de problemas de topografía.

Introduce la idea de distancia entre dos puntos como la longitud del segmento que los une.

Introduce la idea de distancia entre dos puntos como la longitud del segmento que los une.

Introducción: 

La distancia entre dos puntos no es más que la longitud del segmento de la recta que los conecta, el segmento de recta es el pedacito de recta de un punto a otro, puede ser de manera horizontal, vertical o oblicua (significa inclinada). Para conocer la distancia entre dos puntos se utilizará el teorema de Pitágoras que explica que: en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Distancia entre dos puntos ( horizontal, Vertical y oblicua) 

Distancia entre dos puntos horizontal. 

• Para calcular la distancia entre dos puntos de una recta numérica, se toma el valor absoluto de la diferencia de sus coordenadas. 
• Por ejemplo, en la figura se ilustra el cálculo de la distancia entre los puntos A y B. La distancia AB es igual a la diferencia entre 5.56 y -7.43. En este ejemplo se trata de la diferencia entre un número positivo y otro negativo.

Distancia entre dos puntos Vertical. 

• En general, a un punto ( x ,y ) del plano cartesiano se le llama pareja ordenada, porque se tratade dos números representados con variables que tienen un orden.
• Este orden es importante, ya que sitúa de manera inequívoca cada punto; así, por ejemplo, el punto (2, -2 ) es distinto del punto (-2, 2). 
• A las coordenadas cartesianas también se les conoce como coordenadas rectangulares, a las coordenadas sobre el eje x , se les llama abscisas; y a las coordenadas sobre el eje y , ordenadas.

Distancia entre dos puntos oblicua

• En cambio, los puntos A y C se encuentran sobre una recta oblicua respecto a los ejes, esto hace que no se pueda calcular, con el procedimiento anterior, la distancia entre ellos. 
• Para encontrar esta distancia será necesario aplicar el teorema de Pitágoras. El cual establece que: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 
• Generalizado lo anterior, se puede considerar que calcular la distancia entre dos puntos, equivale a determinar la longitud del segmento de recta cuyos extremos son dichos puntos. 
• Si se representa el segmento en un plano cartesiano; y luego, en cada uno de sus extremos, se trazan rectas paralelas a los ejes cartesianos se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento del cual se desea medir su longitud.

 

📚📌 Volúmenes y áreas de prismas, pirámides y cilindros. Relaciones de las áreas de esfera, cono y cilindro.

 Hola amigos y lectores del blog. Quiero compartirles una información que puede ser de mucha ayuda para ustedes. Así como está mostrado en el título, vamos a hablar de diversos temas enfocados al cálculo y medida de cuerpos geométricos.

 Cómo calcular el volumen de prismas, pirámides y cilindros

VOLUMEN DEL PRISMA

Estas son las partes que conforman a un prisma.

El volumen V de un prisma es el área de la base B por la altura h . El resultado se expresa en unidades cúbicas (u³) , que van a variar según la medida que utilices.

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

Recordemos cuáles son las partes de una pirámide:

[B] Base: es el polígono cuyos puntos son los extremos de los segmentos que se unen con el punto exterior.

[C] Centroide de la base: centro del polígono que forma la base.

[vi] Vértices de la base: puntos que definen la base.

[A] Vértice de la pirámide: también denominado ápice o cúspide, es el punto exterior al plano de la base, formada a su vez por sus propios vértices.

[h] Altura: es el segmento perpendicular al plano de la base trazado desde el vértice de la pirámide. También lo es su medida. En las pirámides rectas regulares, la altura pasa por el centroide de la base.

[P] Apotema de la pirámide: es un segmento tendido perpendicularmente desde el vértice de la pirámide a un lado de la base.

[p] Apotema de la base: es un segmento tendido perpendicularmente desde el centroide de la base a uno de sus lados.

Arista lateral: es el segmento que une cada vértice de la base con el ápice de la pirámide.

Cara lateral: al unir cada lado de la base por sus extremos con el vértice de la pirámide se determina una región triangular, llamada cara lateral.

 ¿Cómo calculamos el volumen de una pirámide?

Realmente es muy sencillo. Solo tienes que seguir la siguiente fórmula:

A. base: Área de la base, la cuál dependerá de tu pirámide

h: La altura de tu pirámide

El producto de esta multiplicación lo divides entre tres. El resultado se expresa en unidades cúbicas (u³) , que van a variar según la medida que utilices.

VOLUMEN DEL CILINDRO

La fórmula para calcular el volumen de un cilindro es:

Volumen = (Área de la base)(h)

V= Ab (h)

Para calcular el área de la base:

Ab= (Valor de pi)(Radio de la base al cuadrado)(Altura del cilindro)

Relaciones de volumen de la esfera el cono y el cilindro

¿Qué relación crees que hay entre estos tres?

Si bien, todos ellos son sólidos en revolución (aquellos cuerpos sólidos que se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje de rotación), curiosamente también guardan  relación si hablamos de sus volúmenes. ¡Sí, aunque no lo parezca tienen mucho que ver!

Las fórmulas de volumen para conos y cilindros son muy similares:

El volumen de un cilindro es:	π × r2 × h
El volumen de un cono es:	13 π × r2 × h

De hecho, el volumen del cono es exactamente un tercio ( 13 ) del volumen de un cilindro.

Ahora coloquemos un cilindro alrededor de una esfera de radio r.

En este caso, debemos hacer que la altura del cilindro sea 2r para que la esfera encaje perfectamente dentro.

El volumen del cilindro es:	π × r2 × h = 2 π × r3
El volumen de la esfera es:	43 π × r3

Entonces el volumen de la esfera está en relación 43 vs 2 para el cilindro.

Es decir, ¡el volumen de la esfera es 23del volumen del cilindro!

Y así obtenemos este dato asombroso de que el volumen de un cono y una esfera juntos forman un cilindro (asumiendo que encajan perfectamente entre sí, por lo que h=2r):

¡Mira este ejemplo que lo demuestra de una manera muy sencilla!

También puedes practicar con este simulador

Simulador JMora7