Teorema de Pitágoras y Razones Trigonométricas 📐📐📐

 

Teorema de Pitágoras

En esta Blog estudiarás el teorema de Pitágoras, algunas de sus demostraciones, la resolución de problemas matemáticos por medio de este teorema y su aplicación a situaciones de la vida cotidiana.

el teorema de Pitágoras es una relación en geometría que estudia entre los tres lados de un triangulo isósceles Afirma que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos (los otros dos lados que no son la hipotenusa). Este teorema se puede escribir como una que relaciona las longitudes de los lados 'a', 'b' y 'c'. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.​ El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

Cálculo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo

En la figura, el ∆ABC, ∆DAF, ∆EDG y ∆BEH son triángulos rectángulos y congruentes. a) Encuentra el área del cuadrado CFGH. b) Encuentra el área del cuadrilátero ADEB. c) Demuestra que el cuadrilátero ADEB es un cuadrado verificando ∢BAD = 90°. d) Encuentra la medida del lado AB.

Solución:

a) CF = 4 + 3 = 7(cm), por lo tanto, el área es: 72 = 49(cm2 ). b) El área del cuadrilátero ADEB se puede calcular restando al área del cuadrado FGHC, las áreas de los cuatro triángulos que son congruentes. (ADEB) = (FGHC) – (ABC) × 4 = (4 + 3)2 – × 4 = 49 – 24 = 25 (cm)2 3 × 4 2 1.1 Cálculo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, parte 1 En la figura, el ∆ABC, ∆DAF, ∆EDG y ∆BEH son triángulos rectángulos y congruentes. a) Encuentra el área del cuadrado CFGH. 

b) Encuentra el área del cuadrilátero ADEB. 

c) Demuestra que el cuadrilátero ADEB es un cuadrado verificando ∢BAD = 90°. d) Encuentra la medida del lado AB. c) ∢BAD = 180°– (∢CAB + ∢DAF) = 180°– (∢CAB + ∢ABC), dado que ∆ABC ≌ ∆DAF = 180°– 90° = 90° De la misma manera se tiene que ∢ADE = ∢DEB = ∢EBA = 90°. 

En el cuadrilátero ADEB, los lados son congruentes y los ángulos son congruentes así que es un cuadrado. 

d) El área del cuadrado ADEB es AB2 , por otra parte el área es 25 cm2 . Luego AB2 = 25, AB = 5(cm).

Recordemos que:

• el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π/2 radianes;
• la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto;
• las 3 últimas fórmulas anteriores se obtienen de la primera (haciendo la raíz cuadrada en ambos lados).

Nota: h siempre es mayor que los dos catetos, es decir, h > a y h > b.

Nota 2: en el Problema 12 ofrecemos una demostración geométrica del teorema.

Ejemplo: 

• En el rojo, la hipotenusa es $b$.
• En el azul, la hipotenusa es $a$.
• En el verde, la hipotenusa es $a$.
• En el naranja no podemos hablar de hipotenusa y catetos porque no se trata de un triángulo rectángulo (es un triángulo obtusángulo).

Problema 1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 centímetros.

R= sabemos la medida de los catetos ( a y b)

$\mathrm{�<span\; style="font-family:\; "Open\; Sans",\; sans-serif;\; font-size:\; 18.72px;\; text-align:\; justify;\; word-spacing:\; normal;">:</span>}$

$$a=3\text{cm,}b=4\text{cm}$$

Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular la hipotenusa:

Por tanto, la hipotenusa mide 5 centímetros. Representación del triángulo:

 

El teorema de Pitágoras es fundamental en geometría y tiene numerosos beneficios, entre ellos:

1. Resolución de triángulos rectángulos: Permite encontrar la longitud de un lado desconocido de un triángulo rectángulo cuando se conocen las longitudes de los otros dos lados.

2. Aplicaciones en trigonometría: Es la base de muchas relaciones trigonométricas y fórmulas, como las funciones seno, coseno y tangente.

3. Cálculo de distancias: Se puede utilizar para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano o en un espacio tridimensional.

4. Aplicaciones en física: Se utiliza en el cálculo de la longitud de la hipotenusa en problemas relacionados con la cinemática y la dinámica.

5. Aplicaciones en ingeniería y arquitectura: Es esencial en el diseño y la construcción de estructuras y edificios, así como en la resolución de problemas de topografía.